Zugzwang

Os três dados não transitivos sobre os quais estávamos pensando na semana passada, cujos pontos em cada um deles somam 21, como nos dados convencionais, e que, como nestes, as pontuações variam de 1 a 6, são 222555, 144444 e 333336. O primeiro vence o segundo em quase 60% das vezes, o segundo vence o terceiro com a mesma probabilidade, e o terceiro tem uma vantagem ainda maior sobre o primeiro: vence-o em quase 70% das vezes. Ángel Barrientos diz sobre isso:

Das 8 soluções existentes para dados que somam 21, a mais simples é: A = (1, 4, 4, 4, 4, 4), B = (3, 3, 3, 3, 3, 6), C = (2, 2, 2, 5, 5, 5), com p(A>B) = 5/6*5/6 = 25/36, p(B>C) = 5/6*3/6 + 1/6*6/6 = 21/36, p(C>A) = 3/6*1/6 + 3/6*6/6 = 21/36. Não há nenhum caso em que as três probabilidades coincidam. (Você consegue encontrar alguma das outras 7 soluções?)

Não recebi nenhuma prova da singularidade dos dados de Sicherman , então a questão permanece pendente até que as temperaturas caiam e os neurônios retornem à função plena.

E antes de terminar (por enquanto) com os fascinantes dados não transitivos, devemos mencionar aqueles idealizados pela física americana Shirley L. Quimby: quatro dados hexaédricos em cujas faces aparecem os números de 1 a 24, como segue: 1 2 16 17 18 19, 3 4 5 20 21 22, 6 7 8 9 23 24 e 10 11 12 13 14 15. Se o primeiro jogador escolhesse o primeiro dado, qual você escolheria para ter mais chances de ganhar?

Quando é melhor não se mover

Assim como há situações em que é melhor não dar o primeiro passo, há outras em que é melhor não fazer nenhum. É a tática do gambá, fingir-se de morto para despistar predadores. Mas em muitos jogos, você não pode "passar"; você tem que se mover quando chega a sua vez, e há situações em que qualquer movimento possível é ruim: é isso que no xadrez e em outros jogos de estratégia se chama zugzwang , um termo de origem alemã que significa "forçado a se mover".

No xadrez, essa é uma situação frequente em finais de jogo, quando há poucas peças restantes no tabuleiro e o número de lances possíveis é drasticamente reduzido. Nesses casos, quando o oponente está em uma situação de zugzwang , o lance vencedor pode ser um lance "inútil", cujo único propósito é ceder a vez ao outro jogador, que será então forçado a fazer um lance perdedor.

Particularmente curiosas são as posições em que ambos os jogadores estão em uma situação de zugzwang , e quem precisa se mover perde. Na posição de figura, por exemplo, os peões se bloqueiam e ambos os jogadores só podem mover seu rei; mas o primeiro a fazê-lo terá necessariamente que deixar seu peão desprotegido e perder a partida.